Lien dérivation

Dans ce cours, nous abordons le concept de convexité d'une fonction dérivable. La convexité d'une fonction ne dépend ni de sa continuité ni de sa dérivabilité, mais seulement de la relation entre les sécantes et la courbe de la fonction. Cependant, lorsque la fonction dérivée est existante, nous pouvons avoir des approches et des définitions de la convexité plus pratiques au quotidien. Nous supposons que la fonction f est dérivable sur un intervalle i. Dans ce cas, la fonction f est dite convexe sur i si, pour tout réel x de cet intervalle, la dérivée f' est croissante. De même, la fonction f est dite concave sur i si la dérivée f' est décroissante. Pour illustrer ce concept, prenons l'exemple de la fonction cubique. On peut observer que cette fonction est concave au début, puis devient convexe. En examinant la dérivée de la fonction, on constate que la courbe de la dérivée est décroissante lorsqu'elle est concave et croissante lorsqu'elle est convexe. Nous pouvons également étudier la dérivée seconde de la fonction, qui représente la dérivée de la dérivée. Si la dérivée seconde est positive, la fonction est convexe sur les intervalles correspondants, tandis que si elle est négative, la fonction est concave. Ainsi, pour étudier la convexité d'une fonction dérivable, il est suffisant de calculer la dérivée seconde de sa dérivée et de déterminer les variations de celle-ci. L'étude de la convexité est donc simplifiée grâce à cette méthode. Si vous avez des questions ou des doutes, n'hésitez pas à les poser dans le forum.