Convexité et f''

Dans ce cours, nous étudions la convexité d'une fonction, ce qui permet de déterminer certaines propriétés intéressantes, notamment la position de la tangente par rapport à la courbe. Dans le premier exemple, nous examinons la fonction f(x) = (1/3)x³ - (3/2)x² + 2x + 1. Nous dérivons cette fonction deux fois et obtenons la dérivée seconde f''(x) = 2x - 3. En analysant le signe de cette dérivée, nous concluons que f est concave pour x < 3/2 et convexe pour x > 3/2. Pour le deuxième exemple, nous étudions la fonction f(x) = 3x - 3x√x. Comme la fonction n'est pas définie pour x < 0 et n'est pas dérivable en 0, nous étudions sa convexité sur l'ensemble des réels positifs. En dérivant f deux fois, nous obtenons f''(x) = -9/(4√x). Comme cette dérivée est toujours négative, nous concluons que f est concave sur tout son ensemble de définition. La concavité d'une courbe signifie que la tangente est toujours au-dessus de la courbe. Il n'y a qu'un seul point de séquence entre la tangente et la courbe. De plus, la courbe est toujours au-dessus des cordes définies par deux points de la courbe. En utilisant la concavité et la convexité, il est possible de déterminer la position relative d'une tangente par rapport à une courbe. Une fonction concave sera en dessous de sa tangente, tandis qu'une fonction convexe aura sa tangente en dessous de la courbe. Cela résume les principaux concepts abordés dans ce cours sur la convexité des fonctions.