Convexité et Inégalités

Dans ce cours, nous allons étudier la convexité d'une fonction et utiliser cette information pour résoudre des inéquations. Nous commençons par prendre la fonction f(x) = x^3 - 2x^2 et nous calculons ses dérivées f'(x) = 3x^2 - 4x et f''(x) = 6x - 4. Nous étudions le signe de f''(x) pour déterminer la concavité et la convexité de f(x). En résolvant 6x - 4 > 0, nous trouvons que x > 3/2 et en résolvant 6x - 4 < 0, nous trouvons que x < 3/2. Ainsi, nous concluons que f(x) est concave sur l'intervalle (-∞, 3/2) et convexe sur l'intervalle (3/2, +∞). Ensuite, on nous demande de calculer l'équation de la tangente à f(x) en x = -1. En utilisant les formules appropriées, nous obtenons l'équation de la tangente y = 7x + 4. Nous utilisons cette information pour déduire que pour tout x négatif, x^3 - 2x^2 < 7x + 4. Cette inégalité signifie géométriquement que la courbe de f est en dessous de sa tangente, ce qui est le cas lorsque la fonction est concave. Comme nous avons prouvé précédemment que f(x) est concave sur l'intervalle (-∞, 3/2), nous pouvons conclure que l'inégalité est vérifiée dans cet intervalle. Nous illustrons cette propriété en traçant la courbe et la tangente correspondante. Enfin, nous rappelons l'importance de la convexité dans la résolution des inéquations, car sans cette connaissance, l'équation serait plus difficile à résoudre.