ED : définitions de base

Le cours traite des équations différentielles homogènes. Ces équations sont de la forme y' = ay, avec a étant un réel non nul. Les solutions de ces équations peuvent toujours s'écrire sous la forme k fois exponentielle à x, avec k étant une constante. Il y a donc une infinité de solutions pour ces équations. Cependant, lorsqu'on fixe une condition initiale, c'est-à-dire une valeur de y à un certain point x0, il n'y a qu'une seule fonction solution qui correspond à cette condition initiale. Il est intéressant de noter que cette fonction solution ressemble à l'exponentielle, ce qui était attendu car l'équation ressemble à la définition de l'exponentielle. Le cours explique ensuite une démonstration de cette propriété des équations homogènes. On commence par faire une démonstration formelle, mais le professeur souhaite montrer l'intuition derrière cette démonstration. Il utilise une approche "physicienne" qui consiste à ignorer certains détails techniques pour trouver une piste de résolution. Il parvient ainsi à montrer que les fonctions solutions sont de la forme exponentielle à x. Cette approche peut sembler choquante en mathématiques, mais elle peut être utilisée pour trouver des pistes de résolution avant de revenir à une démonstration rigoureuse. En utilisant cette intuition, le professeur parvient à poser une nouvelle fonction g(x) qui permet de simplifier la démonstration. Il montre ensuite que la dérivée de g(x) est nulle, ce qui prouve que g(x) est constante. En utilisant cette constante, on peut démontrer que les solutions de l'équation homogène sont bien de la forme exponentielle à x. En conclusion, le cours explique comment les équations différentielles homogènes sont intrinsèquement liées aux fonctions exponentielles, et donne une démonstration de cette propriété en utilisant une approche intuitive.