Propriétés 3 : inégalités

Dans cette courte vidéo, nous abordons les propriétés de l'intégrale liées aux inégalités. Si pour tout x appartenant à l'intervalle entre a et b, la fonction f(x) est toujours supérieure à la fonction g(x), alors les intégrales correspondantes seront également ordonnées de la même manière. En d'autres termes, l'intégrale de f sera plus grande que celle de g. Ce résultat peut être visualisé avec un dessin. Si f et g sont représentées graphiquement, l'aire sous la courbe de f sera beaucoup plus grande que celle de g. En particulier, si nous considérons le cas où g est la fonction nulle (c'est-à-dire que g(x) = 0 pour tout x), alors l'intégrale de f sera toujours positive. Cela peut sembler intuitif, mais il est important de connaître cette propriété. Une autre situation intéressante est lorsque f est inférieure à une fonction constante M. Dans ce cas, M est un majorant de f, ce qui signifie que f est bornée supérieurement. Dans ce contexte, l'intégrale de f entre a et b sera plus petite que l'intégrale de M entre a et b. L'intégrale de M est simplement l'aire d'un rectangle avec une base de longueur b-a (valeur absolue) et une hauteur M. De manière similaire, si f est supérieure à une constante M (c'est-à-dire que f(x) > M pour tout x), alors l'intégrale de f sera plus grande que l'aire du rectangle en dessous, c'est-à-dire M multiplié par la longueur de l'intervalle (b-a en valeur absolue). Ces propriétés sont simples mais importantes à connaître. N'hésitez pas à consulter la FAQ si vous avez des questions supplémentaires. Je vous retrouverai dans la prochaine vidéo.