Fonction définie par une Intégrale

Le cours porte sur l'étude des variations d'une fonction définie par une intégrale. L'approche habituelle consiste à calculer la dérivée pour déterminer le signe de cette dérivée, puis en déduire la monotonie de la fonction. Cependant, la particularité ici est que la dérivée d'une intégrale est facile à calculer. L'exemple étudié concerne la fonction f définie sur l'intervalle [0, π] et égale à l'intégrale de 0 à x de sin^3(t). L'auteur met en garde contre une erreur souvent commise consistant à considérer que la dérivée est simplement sin^3. En réalité, cela dépend des bornes de l'intégrale. Pour illustrer cela, il donne un exemple de l'intégrale de -x à 0 de h(t) dt, où h est une fonction arbitraire. L'application du théorème fondamental de l'analyse permet de corriger cette erreur et de calculer la dérivée correcte. Ensuite, l'auteur effectue le calcul de la dérivée de la fonction f en posant g(t) = sin^3(t). En appliquant à nouveau le théorème fondamental, il obtient f(x) = g(x) - g(0) = sin^3(x). Ainsi, la fonction f est simplement égale à sin^3(x). Il souligne également l'importance de différencier les variables utilisées dans l'intégrale et dans l'expression globale de la fonction. La variable t n'a de sens que dans l'intégrale, elle n'est pas utilisée en dehors. La variable x, en revanche, est utilisée dans l'expression globale de la fonction. Enfin, l'auteur analyse les variations de la fonction f en étudiant le signe de sa dérivée sin^3(x). Puisqu'il s'agit d'un cube, elle a le même signe que le sinus x sur l'intervalle [0, π]. Il conclut que la fonction f est croissante puis décroissante sur cet intervalle. En résumé, le cours explique comment étudier les variations d'une fonction définie par une intégrale. Il met en garde contre les erreurs fréquentes et donne des exemples concrets pour illustrer les méthodes de calcul.