Linéarité d'une Intégrale

Dans cette transcription vidéo, on étudie une méthode utilisant la linéarité de l'intégrale pour simplifier le calcul des primitives. On nous demande tout d'abord de montrer que la fonction F proposée est une primitive. Il suffit de dériver la fonction et de vérifier sa dérivabilité sur R, ce qui est assez simple car il s'agit d'un polynôme multiplié par une exponentielle. On obtient donc F de x en dérivant. Donc F est bien une primitive de la fonction donnée. Ensuite, on nous demande de déterminer l'intégrale de 0 à 1 de 3x moins 2 E de x. Il y a une erreur dans l'énoncé de la question, car "t" est utilisé au lieu de "x". La vraie intégrale que nous voulons calculer est donc 3x moins 2 fois E de x. Dans ce cas, la règle à garder en tête est que lorsqu'un polynôme est multiplié par une exponentielle, on utilise systématiquement une IPP (intégration par parties), car l'objectif est de réduire le degré du polynôme. Nous posons U de x égal à 3x moins 2, et sa dérivée est 3. Nous posons V égal à E de x, car la dérivée de V est également E de x. Nous avons donc les conditions nécessaires pour appliquer l'IPP. La dérivée de V est facile à primitiver car il s'agit de l'exponentielle. En utilisant l'IPP, nous obtenons une expression pouvant être calculée rapidement. Ensuite, nous avons l'intégrale de 0 à 1 de 3E2x, ce qui est beaucoup plus simple à calculer. Nous pouvons sortir le 3 et il nous reste seulement à intégrer E2x. La primitive de cette fonction est également E2x, donc nous obtenons E2x entre 0 et 1. En effectuant le calcul, nous obtenons 2E5. Pour résumer, lorsque nous avons un polynôme multiplié par une exponentielle, nous devons utiliser l'IPP. Dans cet exemple, nous avons utilisé cette méthode pour calculer facilement une intégrale. Si vous avez des questions, n'hésitez pas à les poser dans la faculté.