Classique : produit défectueux en usine

Ce cours porte sur les produits défectueux en usine et les tests effectués sur ces produits. L'usine effectue deux tests indépendants pour déterminer si un produit est défectueux. La probabilité qu'un produit défectueux passe le premier test est de 0.12 et de 0.08 pour le deuxième test. Si le produit passe les deux tests, il est vendu, sinon il est détruit. La première question est de savoir quelle est la probabilité qu'un produit défectueux soit mis en vente. Pour répondre à cette question, on utilise les notations suivantes : V pour la vente, T1 pour le premier test et T2 pour le deuxième test. Pour qu'un produit soit mis en vente, il doit passer les deux tests. Donc la probabilité de vente est égale à la probabilité que le produit passe T1 inter T2. Comme les tests sont indépendants, la probabilité est alors égale au produit de P(T1) et P(T2), soit 0.12 * 0.08. Le calcul donne une probabilité de mise en vente de moins de 1%, soit 0.96%. Ensuite, on nous demande quelle est la probabilité qu'au moins 3 produits défectueux soient mis en vente parmi 100 produits indépendants. On remarque que cela correspond à une situation de répétition d'expériences identiques et indépendantes avec deux résultats possibles : vente (réussite) et destruction (échec). On compte le nombre de ventes avec la variable aléatoire X. Pour répondre à cette question, on utilise une loi binomiale de paramètres 100 (nombre de produits indépendants) et 0.0096 (probabilité de vente). On cherche P(X ≥ 3), qui est équivalent à 1 - P(X < 3). On calcule donc P(X = 0), P(X = 1) et P(X = 2), et on les soustrait de 1. Les calculs donnent une probabilité de 38% d'avoir aucun produit défectueux en vente, 36% d'avoir un produit en vente défectueux et 18% d'avoir deux produits en vente défectueux. Finalement, la probabilité d'avoir trois ou plus produits défectueux en vente est de 7%. Les formules utilisées sont celles de la loi binomiale : P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k). La formule générale est appliquée pour chacun des cas calculés.