Déterminer un intervalle de fluctuation

Le cours porte sur la détermination de l'intervalle de fluctuation pour une variable aléatoire X suivant une loi binomiale. Les paramètres de la loi binomiale sont les suivants : n = 40 et p = 0,2. Le seuil α est fixé à 0,05. Pour calculer l'intervalle de fluctuation centré au seuil 1-α, on commence par diviser α par 2, ce qui donne α/2 = 0,025. Ensuite, on cherche le plus petit entier k tel que la probabilité P(X<k) soit supérieure à α/2, soit 0,025. On cherche également le plus petit entier i tel que la probabilité P(X<i) soit supérieure à 1-α/2, soit 0,095. L'intervalle de fluctuation correspond à la zone où la variable aléatoire X a 95% de chances de se situer. On souhaite que les zones situées à l'extérieur de cet intervalle aient une probabilité de α/2, soit 2,5% de chance. Pour trouver les bornes de cet intervalle, on effectue des calculs à l'aide d'une calculatrice. En tâtonnant, on trouve que P(X<3) est égal à 0,008 et P(X<4) est égal à 0,0285. Le premier entier qui fonctionne est 3, car pour X<2, la probabilité est inférieure à α/2. Pour la borne supérieure de l'intervalle, on cherche un entier i tel que P(X<i) soit supérieur à 0,0975. On trouve notamment que P(X<12) est égal à 0,0957 et P(X<13) est égal à 0,0981. L'entier recherché est donc 13. En résumé, l'intervalle de fluctuation centré associé à la variable aléatoire X, avec un seuil de 0,095, est de 3 à 13. Cela signifie qu'il y a 95% de chances que la variable aléatoire X se situe entre 3 et 13.