PGCD qui dépend de n

Dans cet exercice, on cherche à trouver les entiers naturels n pour lesquels le PGCD de 2n + 3 et de n est égal à 3. On utilise l'algorithme d'Euclide pour trouver le PGCD. En faisant la division euclidienne de 2n + 3 par n, on obtient 2n + 3 = 2 * n + 3. Le PGCD étant égal à 3, cela signifie que le dernier reste non nul est égal à 3. Donc, si on divise n par 3, il doit rester un reste nul, ce qui montre que n est divisible par 3. Ainsi, si le PGCD de 2n + 3 et de n est égal à 3, alors n est multiple de 3. Ensuite, on cherche les entiers naturels n pour lesquels le PGCD de 2n + 3 et de n est égal à 1. Si n est multiple de 3, cela est exclu car on a montré que le PGCD serait égal à 3. On suppose donc que n peut s'écrire sous la forme 3k + 2. En faisant la division euclidienne de 2n + 3 par n, on obtient 2n + 3 = 2 * n + 3. En divisant n par 3, on obtient n = 3 * k + 2. En continuant l'algorithme d'Euclide, on divise 3 par 2 et on obtient 3 = 2 * 1 + 1. Le dernier reste non nul est égal à 1, donc le PGCD de 2n + 3 et de n est égal à 1 lorsque n peut s'écrire sous la forme 3k + 2. De plus, si n s'écrit sous la forme 3k + 1, on obtient le même résultat en faisant l'algorithme d'Euclide. Finalement, si n n'est pas multiple de 3, le PGCD de 2n + 3 et de n est égal à 1.