Fraction irréductible

Dans cet exercice, nous souhaitons démontrer que la fraction (9n + 1) / (6n + 1) est irréductible pour tout entier n. Pour commencer, rappelons que pour qu'une fraction soit irréductible, il faut que le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) du numérateur et du dénominateur soit égal à 1. Nous rappelons également le théorème de Bézout, qui énonce que le PGCD de deux nombres est égal à 1 si et seulement si il existe des entiers u et v tels que a*u + b*v = 1. En utilisant ces rappels, nous pouvons dire que la fraction est irréductible si et seulement si il existe des entiers u et v tels que (9n + 1)*u + (6n + 1)*v = 1. En développant cette équation, nous obtenons n*(9u + 6v) + u + v = 1. Pour que cette équation soit vraie pour tout n, il faut nécessairement que n*(9u + 6v) + u + v = 0. En résolvant les deux équations simultanément, nous trouvons u = -2 et v = 3. Donc nous avons trouvé des entiers u et v qui vérifient l'équation, et ils sont premiers entre eux. Ainsi, nous pouvons conclure que (9n + 1) / (6n + 1) est une fraction irréductible pour tout entier n, selon le théorème de Bézout.