Système congruences et Bezout

Cet exercice consiste à résoudre un système de congruences en utilisant les équations de Dioff-Ancienne. Le système à résoudre est le suivant : x congru à 1 modulo 11, et x congru à 3 modulo 4. Pour montrer que ce système revient à résoudre l'équation 11u + 4v = 2, où u et v sont des entiers relatifs, on écrit les équations de congruence en notation algebrique. On obtient x = 1 + 11u et x = 3 + 4v. En simplifiant, on obtient l'équation 11u - 4v = 2, ce qui est l'équation diophantienne recherchée. On vérifie si cette équation a des solutions en utilisant le PGCD de 11 et 4, qui est égal à 1. Comme 1 divise 2, l'équation a des solutions. On trouve une solution particulière en observant que 11 et 4 ont des multiples qui se comportent bien ensemble, comme 12. On obtient les coefficients de Bézout en prenant -1 pour u et -3 pour v. En multipliant ces coefficients par 2, on obtient une solution particulière de l'équation, soit u = -2 et v = -6. On généralise ensuite les solutions en ajoutant un coefficient k à la solution particulière. Finalement, on simplifie en remplaçant les coefficients négatifs par des coefficients positifs, et on obtient que u = 2 + 4k et v = 5 + 11k sont les solutions de l'équation diophantienne. Pour trouver les solutions du système initial, on remplace u et v dans les équations de congruence. On obtient x = 23 + 44k, ce qui signifie que les solutions du système sont congrues à 23 modulo 44.