Coordonnées entières

Dans cet exercice, on utilise les équations diophantiennes pour montrer qu'un point M appartient à la droite AB, en connaissant les coordonnées du point A (7,2) et du point B (-3,-4). Pour montrer que M appartient à la droite AB, on montre que les vecteurs AM et AB sont collinéaires. Les coordonnées de AM sont (x-7, y-2) et les coordonnées de AB sont (-10,-6). Donc, on cherche à résoudre l'équation diophantienne 3x-5y=11. On vérifie que le PGCD des coefficients 3 et 5 divise le terme constant 11, ce qui est le cas, donc l'équation admet des solutions entières. On trouve une solution particulière en prenant (7,2). Donc, l'ensemble des solutions de l'équation est donné par x=5k+7 et y=3k+2, où k est un entier. Ces équations donnent les coordonnées des points entiers qui appartiennent à la droite AB.