Solutions entières et récurrence

Dans cet exercice, nous devons résoudre une équation diophantienne en se limitant aux solutions positives. Tout d'abord, nous devons déterminer les valeurs de S pour lesquelles il existe au moins une solution lorsque S est compris entre 0 et 4. Si S est entre 0 et 4, alors y doit être égal à 0 car si y est supérieur à 0, nous ne pourrons pas compenser avec un x négatif pour obtenir une valeur inférieure à S. Ainsi, si y est égal à 0, alors x doit être compris entre 0 et 2 pour que S soit égal à 2x. Il y a donc trois solutions possibles pour S: 0, 2 et 4. Ensuite, nous devons montrer par récurrence que si S est supérieur ou égal à 4, l'équation admet au moins une solution en utilisant des carrés parfaits. La proposition à montrer est que 2x + 5y = S admet au moins une solution en utilisant des carrés parfaits. Nous commençons par l'initialisation en montrant que la plus petite valeur de S, qui est 4, admet effectivement une solution en prenant x égal à 2 et y égal à 0. Ensuite, nous supposons qu'il existe une valeur de S pour laquelle la proposition est vraie et nous devons montrer que S + 1 admet également une solution en utilisant des carrés parfaits. Nous utilisons l'équation de Bézout avec les coefficients 2 et 5 pour obtenir une combinaison linéaire équivalente à S + 1. En additionnant cette équation avec l'hypothèse de récurrence, nous obtenons une forme équivalente à S + 1. Ainsi, nous montrons que si la proposition est vraie pour une valeur de S, alors elle est également vraie pour S + 1. Par conséquent, la proposition est vraie pour tout S supérieur ou égal à 4, ce qui signifie que l'équation admet au moins une solution en utilisant des carrés parfaits.