Th convergence monotone - démo

Dans cette vidéo, nous faisons une démonstration officielle du théorème de convergence monotone dans le cas d'une suite croissante non majorée, qui tend vers l'infini. Nous commençons par donner une définition formelle de la convergence vers l'infini, qui est presque la même que celle du cas étudié. Ensuite, nous montrons que pour tout réel positif A, il existe un rang à partir duquel tous les termes de la suite sont supérieurs à A. Cela signifie que tout réel A sera finalement dépassé par la suite. Pour le prouver, nous utilisons le fait que la suite est croissante et non majorée, ce qui implique l'existence d'un rang P tel que le terme correspondant soit plus grand que A. En combinant cela avec le fait que la suite est croissante, nous pouvons montrer que pour tout rang N supérieur à P, tous les termes de la suite seront strictement supérieurs à A. Ainsi, nous avons démontré que pour tout réel fixé, la suite finit toujours par être supérieure à ce réel. Cela confirme la convergence vers l'infini. En conclusion, cette démonstration montre que dans le cas d'une suite croissante non majorée, la suite tend effectivement vers l'infini.