Démo au programme : convexité et f''

Dans cette vidéo, nous nous intéressons aux propriétés graphiques et au lien entre la dérivée seconde d'une fonction et la convexité. Si f est une fonction supposée deux fois dérivable, on peut parler de sa dérivée seconde, notée f". Si f" est positive sur un intervalle i, alors la courbe représentative de f est au-dessus de ses tangentes. Cela rappelle la définition de la convexité, où la courbe est au-dessus de ses cordes ou sécantes. Dans cette vidéo, nous allons démontrer cette propriété. La démonstration commence par une introduction qui présente l'architecture de la démonstration. Il est important d'établir clairement les hypothèses de départ et ce que l'on veut montrer pour se concentrer et éviter les erreurs. Ensuite, nous posons les étapes de la démonstration et illustrons chaque étape. La première étape consiste à mettre tous les termes du même côté de l'inégalité. Ensuite, nous posons une fonction, phi(a, x), qui correspond à la différence entre la valeur de la fonction f en un point donné et la valeur de la tangente en ce point. Nous étudions ensuite la fonction phi(a, x) et montrons qu'elle est dérivable. Nous utilisons ensuite les propriétés de la dérivée de f pour montrer que la dérivée de phi(a, x) est positive ou nulle si et seulement si x est supérieur ou égal à a. Enfin, nous examinons la valeur de phi(a) au point a, où la fonction f et la tangente se touchent. Comme la valeur de f est égale à la valeur de la tangente en ce point, nous pouvons conclure que phi(a) est égal à 0. En étudiant le tableau de variation de la fonction phi(a, x), nous montrons que phi(a, x) est positive ou nulle pour tous les x de l'intervalle i. En conclusion, nous avons démontré que la courbe représentative de f est au-dessus de ses tangentes si la dérivée seconde de f est positive sur un intervalle i. Il est important de bien comprendre et être capable de reproduire cette démonstration étape par étape.