Convexité et f''

La concavité d'une fonction permet de trouver plusieurs propriétés intéressantes, notamment la position de la tangente par rapport à la courbe. Pour déterminer si une fonction est concave ou convexe, il faut étudier le signe de sa dérivée seconde. Si la dérivée seconde est positive, la fonction est convexe, si elle est négative, la fonction est concave. Dans le premier exemple, la fonction f(x) = (1/3)x³ - (3/2)x² + 2x + 1 est dérivable deux fois. En dérivant deux fois, on obtient f''(x) = 2x - 3. On remarque que f''(x) est positif pour x > 3/2 et négatif pour x < 3/2. On en déduit donc que la fonction est concave sur l'intervalle (-∞, 3/2) et convexe sur l'intervalle (3/2, +∞). Dans le deuxième exemple, la fonction f(x) = 3x - 3x√x est étudiée sur l'ensemble r*+. La dérivée seconde de f(x) est f''(x) = -9/(4√x). Comme √x est toujours positive, f''(x) est toujours négative. On conclut donc que la fonction est concave sur tout son ensemble de définition. La concavité d'une fonction signifie que la tangente est toujours au-dessus de la courbe. On parle de tangente sécante avec la courbe en un unique point de tangence. On peut également dire que la courbe est toujours au-dessus des cordes, c'est-à-dire des segments reliant deux points de la courbe. La concavité et la convexité sont des notions importantes pour étudier la position relative d'une tangente par rapport à une courbe. Une fonction concave sera en dessous de sa tangente, tandis qu'une fonction convexe aura sa tangente en dessous de la courbe.