Convexité et Inégalités

Dans ce cours, nous avons étudié la convexité d'une fonction polynomiale f(x) = x³ - 2x². Après avoir calculé les dérivées première et seconde de f(x), nous avons déterminé que f''(x) est positive pour x > 3/2 et négative pour x < 3/2. Ce qui signifie que f est concave sur l'intervalle ]-∞, 3/2] et convexe sur l'intervalle [3/2, +∞[. Ensuite, nous avons trouvé l'équation de la tangente à f en x = -1, qui est y = 7x + 4. En utilisant cette équation, nous avons déduit que pour tout x négatif, x³ - 2x² est inférieur à 7x + 4. Cette inégalité géométriquement correspond à la courbe de f étant située en dessous de sa tangente. Comme f est concave sur l'intervalle ]-∞, 3/2], cette inégalité est satisfaite sur cet intervalle. Il est important de noter que la méthode utilisée ici repose sur l'analyse de la convexité de la fonction pour résoudre l'inégalité. Cela est nécessaire car résoudre directement une équation polynomiale de degré 3 peut être complexe et ne peut être fait avec les compétences mathématiques courantes. En utilisant la convexité, nous avons pu déduire l'inégalité sans résoudre l'équation.