Dériver ln(u)

Dans ce cours, nous apprenons qu'il est important de faire attention lorsque nous utilisons le logarithme, car il n'est défini que sur Réactoire+. Lorsque nous travaillons avec une expression qui comprend le logarithme, il est essentiel de regarder attentivement son ensemble de définition. Nous nous concentrons sur la méthode pour déterminer l'ensemble de définition d'une fonction avec le logarithme et calculer sa dérivée. Pour le premier exemple, nous avons la fonction f(x) = ln(8x-4). La fonction ln est définie et dérivable sur R étoile plus. Nous observons que 8x-4 doit être supérieur à 0, ce qui donne x strictement supérieur à 1,5. Ainsi, l'intervalle de définition et de dérivabilité de la fonction f est [1,5, +∞). En calculant la dérivée de f, qui est u' / u avec u = 8x-4, nous obtenons f'(x) = 2 / (2x-1). Pour le deuxième exemple, nous avons la fonction f(x) = ln(x² + x + 1). Nous remarquons que le polynôme x² + x + 1 est de degré 2 et strictement positif, car son discriminant est strictement négatif. Ainsi, la fonction f qui est de la forme ln(g) est définie et dérivable sur R, car le polynôme est toujours strictement positif. La dérivée de f est f'(x) = g' / g avec g = x² + x + 1, ce qui donne f'(x) = 2x / (x² + x + 1). Pour le troisième exemple, nous avons la fonction f(x) = ln(u / v) avec u = x - 1 et v = 2x + 4. Nous devons étudier le signe de cette fonction pour déterminer quand elle est strictement positive. En construisant un tableau de signes pour u - 1 et 2x + 4, nous voyons que f(x) est strictement positive dans l'intervalle (-∞, -2) U (1, +∞). L'intervalle de définition et de dérivabilité de f est donc (-∞, -2) U (1, +∞). Pour calculer la dérivée de f, qui est u'v - u"v / v², nous simplifions l'expression en remplaçant u / v par une seule variable. Après calculs, nous obtenons f'(x) = 6 / (2x² + 8x). Enfin, dans le dernier exemple, nous avons la fonction f(x) = ln(e^x). Comme d'habitude, nous regardons quand l'expression à l'intérieur du logarithme est strictement positive, c'est-à-dire pour x strictement supérieur à 0. Ainsi, la fonction f est définie et dérivable sur R étoile plus. En calculant la dérivée de f, qui est e^x / e^x = 1, nous obtenons f'(x) = 1. En résumé, il est crucial de toujours faire attention à l'ensemble de définition lorsque nous utilisons le logarithme. Nous devons également mémoriser certaines formules pour calculer les dérivées des fonctions logarithmiques.