ED : définitions de base

Les équations différentielles homogènes sont les équations de la forme y' = ay, avec a non nul. Les solutions de cette équation sont de la forme k * e^x, où k peut prendre différentes valeurs. Il y a donc une infinité de solutions pour cette équation. Cependant, en fixant une valeur initiale y0 à un point x0, il n'y a qu'une seule solution possible qui vérifie cela. L'intuition derrière cette démonstration vient du fait que l'équation ressemble à la définition de l'exponentielle. En effectuant un petit détour par le "mode physicien" en faisant des calculs non rigoureux, on peut trouver que les solutions de l'équation sont de la forme exponentielle à x. En posant une nouvelle fonction g(x) = e^(-ax) * f(x), il devient plus facile de démontrer que g(x) est constante. Finalement, en dérivant g(x) et en utilisant le fait que f(x) satisfait y' = ay, on trouve que g'(x) = 0, ce qui prouve que g(x) est constante. Ainsi, on confirme que les solutions de l'équation homogène sont bien de la forme k * e^x.