Solutions Particulières

Dans ce cours, on aborde les équations différentielles non homogènes, qui sont de la forme Y' = AY + F, où A est une matrice constante et F est une fonction donnée. La grande différence avec les équations homogènes est qu'ici on a un terme supplémentaire. Pour résoudre cette équation, on utilise une méthode similaire à celle des équations homogènes. On cherche d'abord une solution U de l'équation Y' = AY + F, c'est-à-dire une solution vérifiant U' = AU + F. Mais ce n'est pas suffisant. En réalité, l'ensemble des solutions sera la combinaison de cette solution particulière U et de la solution homogène Y' = AY. Cette combinaison s'écrit U + V, où V est la solution homogène de l'équation. Il est intéressant de noter que le cas des équations homogènes est inclus dans ce cas-là. En effet, si la fonction F est nulle, la solution particulière U est tout simplement égale à zéro, et on retrouve alors le cas des équations homogènes. La difficulté réside donc dans la recherche de cette solution particulière U qui vérifie U' = AU + F. On l'appelle une solution particulière car elle est spécifique à chaque situation. Cependant, il existe une règle générale qui peut nous donner une indication sur comment la trouver. Dans la plupart des cas, on cherche U en s'inspirant de la fonction F. Par exemple, si F est une constante, on cherche une solution constante U = -B/1. Si F est une fonction affine, on cherche une solution affine U = AX + B. On peut ainsi généraliser cette logique pour d'autres types de fonctions. Il est important de noter qu'il ne faut pas être trop original dans la recherche de cette solution U. Dans la plupart des cas, on propose une fonction de la même famille que F. Si cela ne fonctionne pas, on peut essayer une variante plus lointaine. En résumé, pour résoudre une équation différentielle non homogène, on cherche d'abord une solution particulière U en s'inspirant de la fonction F. Cette solution particulière U sera ensuite combinée avec la solution homogène de l'équation pour obtenir la solution générale. La difficulté réside dans la recherche de cette solution particulière U, mais en utilisant une approche systématique et en s'inspirant de la fonction F, on peut trouver une solution adéquate.