Intégrale et Primitive : calcul

Dans cette vidéo, nous allons aborder la démonstration d'une propriété importante dans le domaine des intégrales. Cette propriété diffère du théorème fondamental que nous avons vu précédemment. Il est essentiel de comprendre la différence entre ces deux concepts. La propriété dont il est question ici concerne le calcul d'une intégrale à partir d'une primitive. Nous pouvons utiliser n'importe quelle primitive de la fonction continue et positive sur l'intervalle [a, b]. Il n'est pas nécessaire de spécifier la forme de cette primitive. L'aire entre a et b sous la courbe de la fonction f est égale à la différence entre la valeur de la primitive en b et la valeur de la primitive en a. En notation mathématique, cela peut s'écrire comme suit : l'intégrale de f entre a et b est égale à F(b) - F(a), où F est une primitive quelconque de f. Cette définition peut également être généralisée pour des fonctions de tout signe. Dans ce cas, l'intégrale de f entre a et b est toujours égale à F(b) - F(a), peu importe le signe de f. Nous allons maintenant procéder à la démonstration de cette propriété. Nous allons examiner deux cas différents. Dans le premier cas, supposons que F soit exactement la fonction dont nous parlons dans le théorème fondamental. Dans ce cas, l'intégrale de f entre a et b est égale à F(b) - F(a). Dans le deuxième cas, où F est une primitive quelconque, nous pouvons l'écrire comme G(x) + K, où G est la fonction du théorème fondamental. Dans ce cas, l'intégrale de f entre a et b reste égale à G(b) - G(a). En utilisant le fait que G(a) est égal à zéro, nous pouvons réécrire G(b) - G(a) comme G(b). Ainsi, l'intégrale de f entre a et b est égale à G(b), ce qui était la définition du théorème fondamental. Par conséquent, la propriété est démontrée. Il est important de souligner que pour prouver cette propriété, nous avons utilisé le fait que nous connaissions déjà une primitive de la fonction. Si nous ne l'avions pas, nous aurions utilisé le théorème fondamental pour obtenir une primitive et suivre la même méthode de démonstration. J'espère que cette démonstration a été claire. N'hésitez pas à poser vos questions dans la FAQ, et rendez-vous dans la prochaine vidéo.