Limite avec A ou Ɛ

Dans ce cours, nous abordons la définition mathématique d'une limite et son utilité pour ceux qui poursuivent l'étude des mathématiques. Nous commençons par définir une suite U_n égale à 3n plus 2. Nous voulons montrer que pour tout réel A supérieur à 0, il existe un plus petit entier naturel n_0 tel que si n est supérieur à n_0, alors U_n est supérieur à A. En d'autres termes, nous voulons montrer que quel que soit le seuil A que nous fixons, même s'il est très grand, il existe un rang n_0 à partir duquel tous les termes de la suite sont supérieurs à ce seuil. Cette définition correspond à la limite lorsque n tend vers l'infini. Pour résoudre cette équation, nous avons besoin de trouver un entier n_0 à partir duquel cette inégalité est toujours vraie. En résolvant l'équation 3n plus 2 supérieur à A, nous obtenons n supérieur à (A moins 2) divisé par 3. Cependant, nous devons faire attention car n est un entier naturel. Pour garantir que n_0 est également un entier, nous utilisons la partie entière de (A moins 2) divisé par 3 plus 1. Cette partie entière correspond à B, un réel qui n'est pas nécessairement un entier. Cependant, nous pouvons prendre la partie entière de B plus 1 pour obtenir n_0, qui est bien un entier. Ainsi, le plus petit entier n_0 tel que n est supérieur à n_0 et que U_n est supérieur à A peut être écrit comme la partie entière de (A moins 2) divisé par 3 plus 1. Cette définition correspond à la limite lorsque n tend vers l'infini, où quel que soit le seuil que nous fixons, il existe un rang à partir duquel tous les termes de la suite sont au-dessus de ce seuil. Cette méthode montre que même si nous fixons un seuil très élevé, nous trouverons toujours un rang à partir duquel les termes de la suite dépassent ce seuil. Cela illustre la définition formelle de la limite en mathématiques. Bien que les définitions formelles puissent sembler complexes au début, elles deviennent plus faciles à comprendre avec la pratique. Si vous avez des questions, consultez la FAQ pour plus d'informations.