Majoration astucieuse

Dans ce cours, nous étudions une suite Vn définie par Vn = 6n + 3 / (n + 1). Pour analyser les variations, nous utilisons le critère de croissance en examinant le ratio Vn+1 / Vn. En simplifiant cette expression, nous obtenons 2n² + 5n + 3 / (2n² + 3n). Comme ce ratio est strictement supérieur à 1, nous concluons que la suite Vn est strictement croissante. Ensuite, nous démontrons que la suite est majorée par 6. On montre que Vn < 6 en utilisant une équivalence entre 6n + 3 < 6(n + 1), qui est toujours vrai. Ainsi, nous pouvons affirmer que Vn est majorée par 6. Enfin, nous appliquons le théorème de convergence monotone pour montrer que la suite Vn converge. Comme nous avons déjà démontré que la suite est croissante et majorée, elle converge vers une limite. En utilisant une autre méthode, nous pouvons simplifier Vn en écriture fractionnelle en séparant la fraction en deux parties. En analysant la fonction correspondante, nous concluons également que la suite Vn est croissante. En simplifiant davantage, nous obtenons une expression équivalente à 6, ce qui prouve également que la suite est majorée par 6. Finalement, la limite de Vn est calculée en utilisant une limite classique et nous trouvons que Vn tend vers 6.