Théorème des gendarmes

Le théorème d'encadrement, aussi appelé théorème des gendarmes, permet de montrer qu'une suite converge vers un réel fini en la comparant à deux autres suites qui convergent vers la même limite. Si une suite UN est "prise en sandwich" entre deux autres suites VN et WN, c'est-à-dire que UN est plus grande que VN et plus petite que WN, et que VN et WN convergent tous les deux vers la même limite L, alors UN converge également vers L. Ce théorème permet d'éviter les définitions formelles d'ε et d'A et offre une méthode pratique pour prouver des résultats sur les suites. Pour illustrer ce théorème, on peut prendre l'exemple de la suite sinus n sur n. Cette suite est difficile à gérer, mais on peut l'encadrer entre les suites 1 sur n et -1 sur n, qui convergent toutes les deux vers 0. En appliquant le théorème des gendarmes, on peut conclure que la suite sinus n sur n converge également vers 0. Il faut cependant noter que toutes les situations ne sont pas aussi simples et il peut arriver qu'on ait moins d'informations pour prouver la convergence d'une suite. Néanmoins, une propriété importante à retenir est que si deux suites un et vn sont ordonnées, c'est-à-dire que un est toujours plus petit que vn, et que ces deux suites convergent, alors leurs limites seront également ordonnées dans le même sens. En résumé, le théorème d'encadrement, ou théorème des gendarmes, est une méthode pratique pour prouver la convergence d'une suite vers un réel fini en la comparant à deux autres suites convergentes. Il permet d'éviter les définitions formelles et offre des résultats intuitifs.