Suite majorée, minorée & Th de convergence monotone

Le cours concerne les théorèmes de convergence en mathématiques. La première définition donnée est celle de la notion de suite majorée, c'est-à-dire lorsque celle-ci est bloquée par une certaine valeur et toutes les valeurs supérieures. Ensuite, la notion de suite minorée est expliquée, qui représente le fait que la suite ne peut pas descendre en dessous d'une certaine valeur. Lorsqu'une suite est à la fois majorée et minorée, on dit qu'elle est bornée. Ensuite, des exemples de suites bornées sont donnés, comme la suite 2-1/n qui ne dépasse jamais 2, la suite 1/n qui ne descendra jamais en dessous de 0, et la suite sin(n) qui oscille entre 1 et -1. Ensuite, le théorème de convergence monotone est présenté. Il établit que si une suite est croissante et majorée, alors elle converge. Cependant, le théorème ne fournit pas la valeur limite vers laquelle la suite converge. Il est également expliqué que la réciproque du théorème de convergence monotone est fausse, c'est-à-dire que ce n'est pas parce qu'une suite converge qu'elle est forcément croissante et majorée, ou décroissante et minorée. Des contre-exemples sont donnés, notamment la suite sin(n) qui converge vers 0 mais oscille de manière chaotique. En conclusion, il est souligné l'importance de bien comprendre ces concepts et de ne pas se laisser piéger par des fausses idées.