Dérivabilité et Variations

Nous allons maintenant étudier une fonction qui fait intervenir le logarithme. Nous allons voir comment effectuer une étude de fonction avec les logarithmes. La fonction proposée est ln(2x+1) / ln(2x-1). Elle est définie sur l'intervalle de 0 exclu à l'infini. Nous ne pouvons pas avoir e dans l'intervalle à cause du dénominateur qui s'annulerait. La dérivée de cette fonction est -2x / (ln(2x-1))^2. Cette dérivée est strictement négative sur l'intervalle considéré. Il y a une valeur interdite en e, ce qui signifie que la fonction n'est pas décroissante sur tout l'intervalle. La fonction descend jusqu'à un certain point puis remonte à l'infini. Lorsqu'il y a une valeur interdite, c'est souvent parce qu'il y a une division par zéro, ce qui entraîne une variation de signe de part et d'autre de cette valeur. Nous allons donc étudier les limites de la fonction pour avoir un tableau de variation complet. En 0, la fonction tend vers 1. Pour les valeurs inférieures et supérieures à e, la fonction tend respectivement vers moins l'infini et plus l'infini. Donc notre tableau de variation est complet. Si nous représentons graphiquement la fonction, nous pouvons observer qu'elle possède une asymptote verticale en x = e et une asymptote horizontale en y = 1. La fonction est décroissante jusqu'à un certain point, puis décroît à nouveau. Il est important de noter qu'il y a un saut de moins l'infini à plus l'infini, ce qui signifie que la fonction n'est pas décroissante sur tout l'intervalle considéré. Voilà pour cette méthode d'étude de fonction utilisant les logarithmes. Si vous avez des questions, vous pouvez consulter la FAQ.