Solutions Particulières

Les équations différentielles non homogènes sont de la forme Y' = AY + F, où F est une fonction donnée. La solution à cette équation est l'addition de deux termes : une solution particulière U qui vérifie U' = AU + F, et la solution générale de l'équation homogène Y' = AY. La solution générale sera donc U + V, où V est la solution générale de l'équation homogène. Pour trouver la solution particulière U, on s'inspire de la fonction F. Dans la majorité des cas, si F est de la forme AX + B, on cherche une U de la forme AX + B. Si F est une fonction du second degré, on cherche une U du même degré. On peut généraliser cette méthode à d'autres types de fonctions (exponentielles, cosinus, etc.). Un cas particulier à connaître est lorsque F est une constante. Dans ce cas, la solution particulière est simplement U = -B. On additionne ensuite cette solution particulière à la solution générale de l'équation homogène. Il est important de comprendre que la clé pour résoudre les équations différentielles non homogènes est de trouver la solution particulière, en s'inspirant de la fonction F, et d'ajouter ensuite la solution générale de l'équation homogène. Cette méthode peut être généralisée à différents types de fonctions, mais il est recommandé de suivre les indications données dans les exercices.