Intégrale et Aire

Dans ce cours, nous apprenons comment calculer une intégrale en utilisant une méthode géométrique basée sur le calcul d'erreurs. Cette méthode est applicable lorsque la forme géométrique de la fonction est simple, comme c'est le cas avec une fonction affine. Nous nous intéressons ici à l'intégrale de la fonction x + 2, tracée sur le graphique entre -0,5 et 2. L'intégrale correspond à l'erreur sous la courbe par rapport à l'axe des abscisses. Deux méthodes sont possibles : calculer la primitive de x + 2 et effectuer le calcul habituel, ou reconnaître que la forme géométrique est un trapèze, dont nous pouvons facilement calculer l'erreur. Pour calculer l'erreur, nous avons besoin de la hauteur, de la largeur et des longueurs des bases du trapèze. Pour cela, nous déterminons les coordonnées des points a, b, c et d. Les points a et b appartiennent à la droite définie par l'équation y = x + 2. Avec les abscisses x a = -0,5 et x b = 2, nous pouvons calculer les ordonnées correspondantes : y a = -0,5 + 2 = 1,5 et y b = 2 + 2 = 4. Les points c et d se situent sur l'axe des abscisses, donc leurs coordonnées sont respectivement (2, 0) et (-0,5, 0). Ensuite, nous calculons les différentes longueurs en prenant la différence entre les ordonnées correspondantes. Ainsi, la longueur a, d est de 1,5, la longueur b, c est de 4 et la longueur d, c est de 2,5. En utilisant la formule de l'aire du trapèze, qui est la moyenne des deux bases multipliée par la hauteur, nous obtenons une valeur de 6,875 pour l'aire de ce trapèze. Il est intéressant de remarquer que l'aire d'un trapèze peut être calculée en considérant soit la moyenne des deux côtés parallèles fois la base, soit la base fois la moyenne des hauteurs. Cette approche géométrique évite le calcul des primitives et permet de directement calculer l'aire géométrique de l'intégrale. Ceci résume le cours sur le calcul d'une intégrale en utilisant une méthode géométrique basée sur l'aire.