Intégrale et Primitive : calcul

Dans cette vidéo, nous allons présenter une démonstration d'une propriété fondamentale en mathématiques. Cette propriété est distincte du théorème fondamental que l'on a précédemment étudié. Il est important de faire la distinction entre les deux et de comprendre ce que chacun apporte. La propriété nous dit que l'on peut calculer une intégrale grâce à une primitive. C'est une information très utile. Le théorème fondamental, quant à lui, nous dit que l'on peut trouver une primitive grâce à un calcul intégral. Les deux concepts sont donc différents. Dans cette démonstration, on nous dit que f est une fonction continue et positive sur un intervalle [a, b]. F est une primitive quelconque de f sur cet intervalle. On ne nous donne pas la forme de F, on ne dit pas si F est exprimée sous forme d'une intégrale ou non. On utilise simplement le concept des primitives. On nous dit que l'aire entre a et b de la fonction f est égale à la valeur de la primitive en b moins la valeur de la primitive en a. Cela n'a donc rien à voir avec le théorème fondamental. Cette propriété est valable pour n'importe quelle primitive de f, peu importe sa forme. On écrit souvent cette égalité de la manière suivante : F(b) - F(a). C'est une notation compacte pour représenter F(b) moins F(a). Cette notation est utilisée fréquemment en mathématiques pour ce type de concept. Cette propriété est également valable pour les fonctions qui ne sont pas nécessairement positives sur l'intervalle [a, b]. On peut répéter la même démonstration dans ce cas. On peut donc généraliser cette définition pour toutes les fonctions continues sur [a, b], peu importe leur signe. L'élément important à retenir est que l'on peut démontrer cette propriété de manière générale, pour n'importe quelle fonction. Maintenant, passons à la démonstration de cette propriété. Nous souhaitons montrer que pour toute primitive F, l'intégrale de f entre a et b est égale à F(b) moins F(a), peu importe la primitive choisie. Nous allons faire deux cas différents pour la démonstration. Dans le premier cas, supposons que F soit exactement la fonction que nous avons étudiée précédemment dans le théorème fondamental. Dans ce cas, l'intégrale de f entre a et b est effectivement égale à F(b) moins F(a). Cela est tout simplement dû au fait que si nous plaçons b en haut et a en bas dans l'expression, cela nous donne directement F(b) moins F(a). Par ailleurs, nous savons que F(a) est égal à zéro dans ce cas précis, puisque F est la primitive du théorème fondamental. Donc l'équation devient simplement F(b) - 0, ce qui est égal à F(b) moins F(a). Dans le deuxième cas, supposons que F soit une autre primitive quelconque de f. Nous allons l'appeler G. Nous savons d'après nos connaissances sur les primitives, et en particulier grâce à un théorème important, qu'il n'y a pas d'autres primitives possibles que celle que nous connaissons déjà. Autrement dit, si nous avons trouvé une primitive F, toutes les autres primitives seront simplement des translations de F, avec éventuellement une constante supplémentaire. Ainsi, si F est quelconque, nous pouvons écrire F(x) = G(x) + K, où K est une constante réelle. Cette démonstration repose entièrement sur cette primitive G que nous connaissons. Au final, nous pouvons donc dire que F(b) moins F(a) est égal à G(b) moins G(a). Et puisque G(a) est égal à zéro, nous obtenons tout simplement G(b) comme résultat final. Or, nous avons déjà démontré que G(b) est égal à l'intégrale de f entre a et b. Donc, quelle que soit la primitive F que nous choisissons, nous trouvons toujours que l'intégrale de f entre a et b est égale à F(b) moins F(a). Il est important de comprendre la distinction entre les deux théorèmes et de savoir que cette propriété s'appuie sur le fait que nous connaissons l'existence d'une primitive et sa forme, que ce soit la primitive du théorème fondamental ou une autre primitive quelconque. Si vous avez des questions, n'hésitez pas à consulter la FAQ ou à nous les poser. À bientôt pour une prochaine vidéo.