Suite arithmético géométrique

Les suites arithmético-géométriques sont un cas particulier des suites définies par récurrence, où la relation de récurrence est donnée par u(n+1) = f(u(n)), avec f(x) = x + b (une fonction affine). Si a ≠ 1, alors la seule limite possible pour u(n) est l = b / (1 - a). Pour déterminer si la suite converge, on introduit une suite auxiliaire v(n) = u(n) - l, qu'on étudie ensuite. La suite v(n) est géométrique de raison a, et converge si |a| < 1. Ainsi, la suite u(n) converge si |a| < 1. Dans une application pratique, on considère un carré de côté 1, qu'on partage en 9 carrés et on colorie uniquement le carré central. On répète ensuite le processus en coloriant le carré central de chaque carré restant, et ainsi de suite. La relation de récurrence associée à cette géométrie est donnée par u(n+1) = (8/9)u(n) + (1/9)(1 - u(n)), où u(n) représente la proportion de la surface coloriée. En simplifiant cette relation, on obtient u(n+1) = (8/9)u(n) + (1/9). Comme a = 8/9, qui est compris entre 0 et 1 strictement, la suite u(n) converge vers 1. Ainsi, à chaque étape, une plus grande partie du carré est coloriée, et finalement, après un nombre infini d'étapes, tout le carré sera colorié.