Comparaison et encadrement

Ce cours présente deux théorèmes de comparaison en mathématiques, qui permettent de comparer des fonctions et de déterminer leurs comportements asymptotiques. Le premier théorème de comparaison stipule que si deux fonctions f et g sont telles que f tend vers l'infini et g est plus grande que f, alors f va "pousser" g et les deux fonctions tendront vers l'infini. Un exemple est donné pour illustrer ce théorème en prenant les fonctions f(x) = x²/4 + x et g(x) = x²/4 + x²/32. Il est montré graphiquement que g(x) est toujours au-dessus de f(x) et que si f tend vers l'infini, alors g tendra également vers l'infini. Le deuxième théorème présenté est le théorème des gendarmes, également appelé théorème d'encadrement. Ce théorème est basé sur le concept d'encadrement d'une fonction entre deux autres fonctions. Si f et h encadrent une fonction g telle que f est inférieure à g et g est inférieure à h, et que les limites de f et h sont égales à un réel L, alors la limite de g sera également égale à L. Une illustration graphique est donnée pour montrer comment les deux fonctions encadrent une troisième fonction et que si les limites de f et h sont les mêmes, la limite de g sera également la même. En conclusion, ces théorèmes de comparaison sont utiles pour comparer et étudier le comportement des fonctions en s'inspirant de fonctions "plus jolies" et pour déterminer leurs limites. Ils sont particulièrement utiles dans les exercices mathématiques.