Croissance comparée exp et ln

Dans ce cours, nous étudions la croissance comparée et les limites de fonctions. La croissance comparée est l'idée selon laquelle l'exponentiel dominera toujours sur les puissances de x, peu importe leur valeur. Par exemple, si nous prenons l'exponentiel de x divisé par x puissance 7000, nous pourrions penser que cette expression tendra vers 0, mais en réalité, l'exponentiel domine complètement sur les puissances de x et tendra vers l'infini. Nous pouvons également observer cette domination en examinant le graphique de l'exponentiel. Il monte rapidement vers l'infini et s'écrase rapidement vers zéro. Par conséquent, même les puissances de x comme x2 ou x3 seront éventuellement dépassées par l'exponentiel. Pour démontrer la croissance comparée de manière générale, nous utilisons le théorème de comparaison. Nous prouvons d'abord le cas particulier de E2x/x tendant vers l'infini à l'aide du tableau de variation de la fonction. Ensuite, nous utilisons ce résultat pour démontrer le cas général avec n étant un entier quelconque. Nous utilisons des astuces de changement de variable et les propriétés des puissances pour simplifier les expressions et prouver finalement que E(x/n)^n tend vers l'infini