Étude TRES complète

Ce cours porte sur la recherche des bornes de définition d'une fonction et la détermination des limites aux bornes. Pour trouver les bornes de définition, il faut s'assurer que ce qui se trouve sous la racine carrée est positif ou nul. On sait que cela se produit lorsque x est strictement supérieur à 1 ou strictement inférieur à -1. Ensuite, il faut également vérifier que la racine carrée de x²-1 est différente de zéro, car on ne peut pas diviser par zéro. Pour résoudre ce problème, il faut faire attention à ne pas simplement supprimer -1 et 1 pour garder les valeurs entre -1 et 1. En effet, cela ne fonctionne pas car il y a des valeurs pour lesquelles la fonction deviendrait négative. On peut vérifier cela en substituant x par 0.5 par exemple. Les bornes de définition de la fonction sont donc les intervalles entre -∞ et -1, entre -1 et 1, entre 1 et ∞. Il est également utile de vérifier si la fonction est paire ou impaire. Si elle est impaire, cela signifie que si on connaît son évolution pour x croissant, on peut automatiquement en déduire son évolution pour x décroissant. Cela permet de diviser par deux la quantité de travail nécessaire pour calculer les limites. Dans cet exercice, la fonction est impaire, ce qui signifie que si on trouve les limites pour x tendant vers +∞ et x tendant vers -∞, on peut en déduire les limites pour x tendant vers -∞ et x tendant vers +∞ respectivement. En utilisant cette information, on peut trouver les limites pour les segments de droite et pour x tendant vers +∞. Dans le cas où on n'observe pas l'imparité de la fonction, on peut utiliser d'autres méthodes pour trouver les limites. Ensuite, l'auteur du cours explique comment trouver les limites pour x tendant vers 1 et x tendant vers -∞. Il utilise la propriété de la racine carrée et la règle de la parité pour simplifier les calculs. Finalement, il conclut en expliquant qu'il y a bien des asymptotes pour cette fonction. Il mentionne qu'il y a une asymptote horizontale à y = 1 pour les limites en +∞ et une asymptote verticale à y = -1 pour les limites en -∞. Il précise également qu'il y a une autre asymptote verticale à x = 0+ pour les limites lorsque x approche de 0+. En résumé, ce cours explique comment trouver les bornes de définition d'une fonction, déterminer les limites aux bornes, et identifier les asymptotes.