Difficile : BAC 2009

Ce cours est une transcription d'une vidéo qui date de 2009 et concerne l'étude d'une fonction. Dans cet exercice, il est demandé d'étudier une fonction, de trouver sa limite en plus infini, et de montrer qu'elle admet un maximum. Pour trouver la limite en plus infini, on utilise la croissance comparée. On compare la convergence de l'exponentielle à celle des puissances de x lorsque x tend vers plus infini. On constate que l'exponentielle domine toujours une puissance de x, par conséquent, la limite de la fonction est 0 lorsque x tend vers plus infini. Ensuite, pour montrer que la fonction admet un maximum, on calcule sa dérivée. On applique la formule du produit de deux fonctions, ce qui donne une expression avec des exponentielles. On utilise une règle de dérivation pour simplifier l'expression. On constate que la dérivée est positive ou nulle sur l'ensemble des réels positifs. On trouve que la dérivée est positive lorsque x est plus petit que la racine de 2 sur 2 (√2/2), et négative lorsque x est plus grand que √2/2. En construisant un tableau de variations, on détermine que la fonction monte puis descend, avec un maximum en √2/2. Pour calculer la valeur du maximum, on remplace x par √2/2 dans la fonction et on simplifie l'expression. On obtient racine de 2 sur 2 fois l'exponentielle de -1,5. Cela conclut l'exemple.