Indicatrice de Q

Dans ce cours, Paul aborde la fonction f de R dans R, qui est définie comme suit : f(x) = 1 si x est rationnel, et f(x) = 0 si x n'est pas rationnel. Cette fonction est appelée la fonction indicatrice des rationnels. Pour démontrer que f est discontinue en tout point, Paul explique qu'il suffit de visualiser la fonction. Comme les rationnels sont présents partout dans R, on peut imaginer deux droites qui se croisent en chaque point. Cependant, les points sont si proches les uns des autres qu'ils semblent alignés, donnant une impression de continuité. Cependant, la fonction alterne constamment entre 0 et 1 à chaque changement de rationnel à irrationnel, ce qui montre qu'elle n'est pas continue. Paul montre ensuite comment prouver la discontinuité de f en utilisant la caractérisation séquentielle de la continuité. Il explique qu'il suffit de trouver une suite de réels qui converge vers un point a donné, mais dont les images par f ne convergent pas vers f(a). En utilisant la densité de Q (les rationnels) dans R, Paul démontre que f est discontinue en a, que a soit un rationnel ou un irrationnel. Il conclut en précisant que cette fonction, qui est simple mais discontinue en tout point, est souvent utilisée comme un contre-exemple dans l'étude de la continuité. Elle est notée qui-q ou un-q, et est appelée l'indicatrice des irrationnels. C'est ainsi que se termine ce cours, avec une invitation à la prochaine fois.