Fonctions min et max

Dans cette vidéo, Paul explique comment prouver que les fonctions minimum et maximum de deux autres fonctions, f et g, sont également continues. Il commence par souligner qu'il existe différentes méthodes pour prouver la continuité d'une fonction, comme la définition traditionnelle ou l'utilisation de suites. Cependant, il affirme que la façon la plus rapide est d'utiliser des théorèmes généraux. Paul rappelle également qu'il est possible d'exprimer les fonctions minimum et maximum en fonction de f et g à l'aide de fonctions visuelles qui sont déjà connues pour être continues. Pas besoin de les redémontrer. Il explique ensuite comment exprimer le minimum et le maximum en termes de valeurs a et b dans R². Il fait remarquer que la somme du maximum et du minimum de a et b est égale à a + b. Ensuite, il explique qu'en utilisant la somme et la différence, on peut obtenir une expression pour le minimum et le maximum en utilisant demi-somme et demi-différence. Il note que le maximum de a et b et le minimum de a et b sont égaux à la distance entre a et b, qui est équivalente à la valeur absolue de a - b. Ainsi, il conclut que le maximum de f et g est égal à la somme de f et g, plus la valeur absolue de f - g, le tout divisé par 2. Et le minimum de f et g est égal à la somme de f et g, moins la valeur absolue de f - g, également divisé par 2. En utilisant ces expressions et les théorèmes généraux, il montre que les fonctions minimum et maximum de f et g sont continues en x0. Paul insiste sur l'importance de prendre du recul dans cet exercice et de ne pas se précipiter dans des démonstrations complexes. Il souligne qu'il faut réfléchir à l'astuce et aux connaissances sur les fonctions minimum et maximum. Faire un dessin peut également aider à visualiser les concepts. En conclusion, Paul affirme que les fonctions minimum et maximum de f et g sont continues en x0, et il encourage les spectateurs à réfléchir davantage avant de se lancer dans des démonstrations complexes.