Équivalent d'une bijection réciproque

Dans cette vidéo, nous étudions une fonction f définie comme f(x) = x-2 + log(x), où la fonction logarithme est définie sur l'ensemble des nombres réels positifs. Nous montrons tout d'abord que f réalise une bijection de l'ensemble des nombres réels positifs sur l'ensemble des nombres réels inclus dans R. Nous utilisons la forme explicite de f et montrons sa stricte monotonie et continuité pour prouver cette bijection. De plus, nous démontrons que l'application réciproque de f, appelée g, est également une bijection. En utilisant le théorème de limite monotone, nous déterminons les limites de g aux bornes de l'intervalle, c'est-à-dire à l'infini et moins l'infini. Nous appuyons notre démonstration sur le fait que g est strictement croissante et minorée par zéro. Nous prouvons ainsi que la limite de g à l'infini est plus l'infini et à moins l'infini est zéro. Ensuite, nous démontrons que l'équation f(x) = 0 admet une unique solution dans l'ensemble des nombres réels positifs, que nous notons alpha. Enfin, nous étudions la limite de f(x)/x et utilisons cette information pour déduire une limite pour f(g(t))/g(t) ainsi qu'un équivalent de g au voisinage de l'infini. Nous concluons la vidéo en résumant les résultats obtenus.