Étude f : Niveau MPSI mais outils de première !

Le cours porte sur l'étude d'une famille de fonctions de la forme E(2x)/x^n, où n est un entier naturel non nul. Tout d'abord, il est demandé de déterminer le plus grand ensemble de définition de la fonction f. Cela est relativement simple, car il suffit d'éviter que le dénominateur soit nul. Ensuite, il est demandé de déterminer le plus grand ensemble de dérivabilité de f. Étant donné que f est le produit d'une exponentielle et d'une fraction de polynôme, f sera dérivable sur tout son ensemble de définition. Ensuite, en supposant que n est pair, il est demandé de dresser le tableau de variation de f sans indication des limites aux bornes. Pour cela, on étudie la dérivée de f, qui est obtenue en utilisant la règle du quotient. On factorise certains termes et on constate que le changement de signe se produit en 0 et en 2p. On en déduit le tableau de variation de f. Ensuite, les limites de f aux bornes sont calculées. Pour les limites en plus et moins l'infini, le résultat est directement obtenu en utilisant la croissance comparée. Pour les limites en 0 plus et 0 moins, on analyse les termes de la fonction f et on conclut que ces limites tendent vers plus l'infini. Enfin, le même processus est effectué pour le cas où n est impair. On constate que le tableau de variation est différent et que les limites en 0 plus et 0 moins tendent vers moins l'infini. Ce cours met l'accent sur l'importance de faire une distinction de cas et illustre les différentes étapes de l'étude de fonctions et de limites.