Dériver une composée

Dans cette vidéo, nous allons voir comment dériver une fonction composée. Avant de commencer, rappelons rapidement ce qu'est la composition. En première, nous avons déjà vu les bases de la composition, mais maintenant nous allons approfondir notre compréhension théorique. La composition nécessite certaines contraintes sur les ensembles d'arrivée et de départ des fonctions que nous composons. Pour dériver une fonction composée, nous allons reprendre des exemples que nous connaissons déjà. Au lieu de nous lancer directement dans une formule théorique, nous préférons commencer par des exemples plus simples. Reprenons l'exemple de la fonction 1/x, nous savons déjà que sa dérivée est -1/x^2. Donc, intuitivement, nous pourrions penser que la dérivée de 1/u est -1/u^2. Cependant, cela n'est pas correct. En réalité, la bonne formule est 1/u' = -u'/u^2. Nous devons toujours prendre en compte le facteur u' dans notre formule. Poursuivons avec l'exemple de la racine de x. Nous savons que la dérivée de la racine de x est 1/(2√x). Une fois de plus, intuitivement, nous pourrions penser que la dérivée de la racine de u est 1/(2√u). Mais nous devons prendre en compte le facteur u'. La bonne formule est u'/(2√u). Nous voyons ici un motif se dessiner : le facteur intuitif que nous connaissons, multiplié par u'. Si nous continuons, nous pouvons rappeler que la dérivée de e^u est e^u * u'. Voici un tableau récapitulatif des différentes dérivées : a*u+b = a*u' + b, u^2 = 2*u*u', u^3 = 3*u^2*u', u^n = n*u^(n-1) * u', 1/u = -1/u^2 * u', etc. Il y a toujours ce facteur u' qui s'ajoute. La formule générale se résume donc à : v o u' = v' o u * u'. Une conséquence intéressante est que si v et u ont la même monotonie (toutes les deux croissantes ou toutes les deux décroissantes), alors la fonction composée v o u est croissante. Par contre, si elles ont des monotonies opposées (une croissante et une décroissante), alors la fonction composée v o u est décroissante. Nous pouvons également voir cela à travers quelques exemples graphiques. J'espère que tout cela est clair, n'hésitez pas à poser des questions sur le forum. Bon entraînement avec les vidéos de méthodes et à la prochaine !