Fonction réciproque

Dans ce cours, nous étudions une fonction polynomiale de degré 3, f, et nous devons montrer qu'elle possède une fonction réciproque, g, sur R. Ensuite, nous devons montrer que g est dérivable sur R et exposer g' en fonction de g. Enfin, nous devons prouver que g est deux fois dérivable sur R, exposer g'' en fonction de g et donner la valeur de g'' en 0. Tout d'abord, nous notons que f est continue et dérivable sur R puisqu'elle est un polynôme de degré 3. Nous dérivons f et remarquons que sa dérivée est strictement positive, ce qui implique que f est strictement croissante sur R. De plus, f tend vers plus l'infini lorsque x tend vers plus l'infini et f tend vers moins l'infini lorsque x tend vers moins l'infini. En analysant le graphique de f, nous observons qu'elle visite toutes les valeurs de R une seule fois, ce qui est la définition d'une fonction bijective. Par conséquent, f est bijective de R dans R et possède une fonction réciproque, g. Ensuite, nous démontrons que g est dérivable en utilisant un rappel. Si f est dérivable et bijective avec f' strictement supérieur à 0 pour tout x, alors la fonction réciproque g est dérivable sur l'image du domaine de définition de f et g' est égal à 1 sur f'g. Dans notre cas, nous avons déjà prouvé que f est dérivable sur R avec f' strictement supérieur à 0. Donc, g' de y est égal à 1 sur 3g²y plus 1, où y est dans R. Pour la question suivante, nous utilisons les résultats précédents. Nous dérivons g' à l'aide de la formule obtenue précédemment et nous obtenons une expression pour g'. Ensuite, nous remplaçons g' par cette expression pour obtenir une réponse cohérente avec les questions précédentes. Finalement, nous trouvons g' de 0, qui est égal à -1 sur 36.