Fonction C1

Dans cet exercice, nous avons deux fonctions, f(x) et g(x), et nous devons déterminer si elles sont dérivables ou continûment dérivables. Pour la fonction f(x), nous avons montré qu'elle est continue et dérivable sur R* (l'ensemble des réels non nuls). Ensuite, nous avons prouvé que f(x) est dérivable en 0 en utilisant la définition du nombre dérivé. Nous avons conclu que le taux d'accroissement de f tend vers 0 lorsque h tend vers 0, ce qui signifie que f est dérivable en 0 et que f'(0) = 0. Ensuite, nous avons examiné si f'(x) est continue en 0. Nous avons remarqué que pour tout x dans R*, f'(x) = 2x sin(1/x) - cos(1/x). En utilisant le rappel que f(x) tend vers l lorsque x tend vers a si et seulement si pour toute suite un tendant vers a, f(un) tend vers l, nous avons posé un = 1/(2πn) pour tout n dans N. Nous avons montré que un tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini et que f'(un) = -1 pour tout n dans N, ce qui est différent de 0. Par conséquent, nous avons conclu que f est dérivable sur R mais pas continue, ce qui signifie qu'elle n'est pas C1 (continûment dérivable) sur R. Pour la fonction g(x), nous avons montré de la même manière que précédemment qu'elle est C1 sur R* et dérivable en 0. Ensuite, nous avons montré que g'(x) est continue en 0 en calculant sa dérivée g'(x) = 3x² sin(1/x) - x cos(1/x). En utilisant l'inégalité triangulaire et le fait que sin(1/x) et cos(1/x) sont inférieurs ou égaux à 1, nous avons montré que g'(x) tend vers 0 lorsque x tend vers 0, ce qui est égal à g'(0). Par conséquent, nous avons conclu que g est C1 sur R. Résumé SEO friendly: Dans cet exercice, nous avons analysé les fonctions f(x) et g(x) pour déterminer leur dérivabilité et leur continuité. Nous avons montré que f(x) est dérivable en 0 mais pas continue sur R, tandis que g(x) est dérivable en 0 et continue sur R.