Dérivée n-ième

Bonjour à tous, c'est Corentin. Aujourd'hui, nous avons un exercice qui demande beaucoup de calculs et de concentration. L'énoncé demande de dériver la fonction f(x) = x^2 * ln(1+x) n fois. Nous remarquons qu'il s'agit du produit de deux fonctions, ce qui nous amène à la formule de Leibniz. Selon cette formule, la dérivée n-ième de f est égale à la somme des produits de g dérivée k fois et de h dérivée n-k fois, pour k allant de 0 à n. En identifiant nos fonctions g(x) = ln(1+x) et h(x) = x^2, nous pouvons trouver les dérivées successives. Après quelques calculs, nous obtenons que g'(x) = 1+x, g''(x) = -1/(1+x)^2, et pour tout k supérieur ou égal à 3, g^(k)(x) = 0. Quant à h(x), nous avons h'(x) = 2x et h''(x) = 2. Maintenant, nous pouvons appliquer la formule de Leibniz en réinjectant les dérivées trouvées. La fonction f dérivée n fois est égale à une expression compliquée, mais nous pouvons la simplifier en factorisant par v(x). Nous travaillons alors avec v(x) qui est égal à 2x^2 + 2nx + n(n-1). En développant et simplifiant v(x), nous trouvons que f^(n)(x) = 2x^2 + 2nx + n^2 - n(x/(1+x)^2). Finalement, nous arrivons à une expression plus simple pour la dérivée n-ième de f(x) qui est 2x^2 + 2nx + n^2 - n(x/(1+x)^2). Cet exercice nécessite des calculs précis et de la rigueur. Cependant, il est important de noter qu'il est essentiel de simplifier les expressions et de diviser le travail en étapes. La compréhension de la formule de Leibniz, l'identification des fonctions et le domaine de définition, ainsi que la capacité à simplifier sont des compétences clés pour résoudre cet exercice.