Introduction

Bienvenue dans cette vidéo d'introduction au premier sujet du chapitre sur les intégrales. Dans cette vidéo, nous allons présenter les définitions et les propriétés des intégrales. L'objectif de ce chapitre est de calculer des "R" sous des courbes, c'est-à-dire d'évaluer l'aire entre une courbe et l'axe des x. Dans ce sous-chapitre, nous allons poser les bases pour les fonctions continues et examiner ce qui se passe lorsqu'elles sont positives ou négatives. Pour commencer, prenons un exemple simple ensemble. Quelle est l'aire "R" sous la courbe de cette fonction ? La fonction est constante et vaut 2 entre 0 et 3. Il s'agit d'un rectangle de hauteur 2 et de largeur 3, donc l'aire "R" est de 6. Nous pouvons faire la même chose avec une fonction affine qui a une pente de 1. Cette fois-ci, nous avons un triangle rectangle isocèle avec une base de 3 et une hauteur de 3. L'aire "R" est donc égale à 3 fois 3 divisé par 2, soit 9/2. Maintenant, vous pourriez vous demander pourquoi consacrer un chapitre entier à ce sujet. En réalité, nous aurons affaire à des fonctions plus complexes et nous allons nous inspirer de cas très simples, comme les rectangles, pour essayer de comprendre comment évaluer l'aire "R" sous des fonctions plus courbes qui ne sont pas constantes. Nous dirons donc que cela sera approximativement égal à l'aire "R" d'une somme de rectangles. Les rectangles auront une largeur "delta x" pour la distance entre les points, et une hauteur qui sera la valeur de la fonction "f(x)" pour chaque rectangle. Pour être plus précis, il s'agit d'une approximation, mais je vais devoir vous expliquer pourquoi nous utilisons ce symbole. Ce symbole est en réalité un S stylisé qui signifie somme entre "a" et "b". Mais qu'est-ce qui se passe ? En réalité, nous verrons que l'aire "R" est grossièrement égale à la somme des rectangles, mais uniquement lorsque nous effectuons une somme sur un nombre infini de rectangles. Nous allons donc placer un nombre infini de rectangles en les rendant infiniment fins pour approcher la vraie valeur. En termes d'écriture, nos rectangles, qui ont une largeur "delta x", sont souvent représentés avec un "dx" lorsque le nombre de rectangles devient très grand. Nous utilisons également un symbole de somme stylisé lorsque la somme devient infinie, c'est-à-dire lorsque nous atteignons une "R" complète. Maintenant que nous avons expliqué comment cela fonctionne et pourquoi nous utilisons ces symboles, nous allons aborder les premières approximations que nous allons faire. Les points clés de ce sous-chapitre seront les définitions des intégrales pour les fonctions continues positives et pour les fonctions de signes quelconques. Nous utiliserons également des encadrements et des intuitions graphiques pour estimer l'aire "R". Les méthodes que nous utiliserons seront le calcul de l'aire "R" et l'estimation de l'aire "R" par la méthode des rectangles que nous avons évoquée précédemment. Bon courage pour le reste du chapitre et je vous retrouve dans la prochaine vidéo. N'hésitez pas à poser des questions dans la FAQ si besoin. À bientôt !