Fonction définie par une Intégrale

Ce cours explique comment étudier les variations d'une fonction définie par une intégrale. Habituellement, on calcule la dérivée pour déterminer le signe de la dérivée et la monotonie de la fonction. Cependant, dans le cas d'une intégrale, la dérivée est facile à calculer. On étudie donc le signe de la dérivée pour déduire les variations de la fonction et construire un tableau de variations. Dans cet exemple, on nous demande d'étudier les variations de la fonction f sur l'intervalle [0, pi] définie par f(x) = ∫₀ˣ sin³(t)dt. Il est important de faire attention, car le résultat dépend des bornes de l'intégrale. Par exemple, si nous prenons l'intégrale de -x à 0 de h(t), où h est une fonction quelconque et H est une primitive de h, nous devons corriger les bornes et obtenons -∫₀ˣ h(t)dt = H(0) - H(x). Lorsque nous dérivons cette fonction, nous obtenons -H'(x), et comme H est une primitive, cela correspond à -h(x). Ainsi, le signe dépend des bornes et peut être différent de ce que nous attendons. Ensuite, nous cherchons la dérivée de f en posant G(x) = sin³(x). Appliquant le théorème fondamental du calcul, nous obtenons f(x) = G(x) - G(0), et la dérivée de f est G'(x) = sin³(x). Ainsi, nous retrouvons bien la fonction à l'intérieur de l'intégrale. Il est important de noter que les variables x et t ont des significations différentes. t est la variable d'intégration et n'a de sens que dans l'intégrale, tandis que x est une variable globale et a une signification à l'extérieur de l'intégrale. Par conséquent, nous ne pouvons pas avoir la même variable à la fois à l'intérieur et à l'extérieur de l'intégrale. Une fois que nous avons la dérivée, il est facile de déterminer les variations de la fonction. Dans cet exemple, étant donné que sin³(x) a le même signe que sin(x) sur l'intervalle [0, pi], nous savons que la fonction est croissante puis décroissante. Nous pourrions également calculer les valeurs en 0, pi et pi, mais cela n'est pas nécessaire pour déterminer les variations. En conclusion, il est assez simple de calculer les variations d'une fonction définie comme une intégrale en utilisant la dérivée de cette intégrale. Si vous avez des questions supplémentaires, vous pouvez les poser dans la FAQ.