Encadrer une Intégrale

Dans ce cours, nous abordons la méthode des encadrements d'intégrales pour trouver des limites. Nous commençons par étudier une fonction f(x) égale à E(-x^2). Nous cherchons à encadrer cette fonction pour tout x supérieur à 1. Étant donné que l'exponentielle est toujours positive, nous pouvons dire que E(-x^2) est positive pour tout x supérieur à 1. Ensuite, nous voulons montrer que cette fonction est inférieure à E(-x). Pour cela, nous utilisons des étapes de raisonnement. Comme x est supérieur à 1, nous multiplions par x (qui est positif) des deux côtés de l'inégalité. Ensuite, nous multiplions par -1 pour changer le signe de x^2, ce qui donne -x^2. Nous composons ensuite cette expression avec l'exponentielle, qui est une fonction strictement croissante et qui ne change pas le signe des inégalités. Ainsi, nous obtenons l'inégalité recherchée. En utilisant la propriété de monotonie de l'intégrale, nous déduisons un encadrement de l'intégrale de f(x) de 1 à 2. Pour tout x appartenant à l'intervalle [1, 2], nous avons que 0 est inférieur à f(x) qui est inférieur à E(-x). Nous calculons ensuite l'intégrale de ces deux fonctions : l'intégrale de 0 est évidemment 0, et l'intégrale de E(-x) est facilement primitivable et donne E(-1) - E(-2). Ainsi, nous avons encadré notre intégrale entre 0 et E(-1) - E(-2). C'est ainsi que nous pouvons encadrer une intégrale en utilisant la propriété de monotonie de l'intégrale.