Corde et tangente

Dans cet exercice, on cherche à démontrer qu'il existe un certain point où la corde et la tangente d'une fonction sont confondues. Pour cela, nous étudions une fonction f qui vérifie certaines conditions : elle est définie de 0 à 1 dans R, continue et dérivable (de classe c1), et f(0) = f'(0) = f'(1) = 0. On commence par rappeler l'équation de la tangente et de la corde au point c de la courbe. La tangente est représentée par une droite qui passe par le point m de la courbe et a une pente égale à la dérivée de f au point c. La corde est une droite reliant le point m au point o, avec une pente égale à f(c)/c. Pour que la corde et la tangente soient confondues, elles doivent passer par le même point m et avoir la même pente. Ainsi, on cherche un point c où f'(c) = f(c)/c. On introduit une fonction auxiliaire g(x) = f(x)/x et on montre qu'elle est continue sur [0,1] et de classe c1 sur ]0,1[. Si f(1) = 0, alors c = 1 convient car f(c) = f(1) = 0 et f'(c) = f'(1) = 0. Si f(1) > 0, on calcule g(0), g(1) et g'(1). On a g(0) = 0, g(1) = f(1)/1 > 0 et g'(1) = f'(1) - f(1) < 0. On en déduit que g'(x) s'annule sur ]0,1[, ce qui signifie qu'il existe un point c compris entre 0 et 1 où f'(c) = f(c)/c. Si f(1) < 0, on applique le même raisonnement en changeant les signes. On trouve également un point c où f'(c) = f(c)/c. En résumé, dans les conditions données (f(0) = f'(0) = f'(1) = 0), on a démontré qu'il existe un point c dans [0,1] où la corde et la tangente de la fonction f sont confondues.