Équation diophantienne

Dans cet exercice, nous cherchons à résoudre l'équation diophantienne suivante : 13x + 9y = 2. Pour résoudre ce type d'équation, nous devons tout d'abord rappeler qu'elle a au moins une solution entière si et seulement si le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) des coefficients devant x et y divise le terme constant c. Dans notre cas, le PGCD de 9 et 13 est 1, car 13 est un nombre premier qui ne divise pas 9. Puisque 1 divise 2, l'équation 13x + 9y = 2 a des solutions entières. La méthode consiste alors à trouver une solution particulière qui vérifie l'équation, puis à généraliser cette solution en ajoutant des coefficients. Pour trouver cette solution particulière, on peut soit la deviner, soit faire des tests. Une autre méthode est d'utiliser l'algorithme de Clyde pour trouver le PGCD, puis de multiplier la solution par le facteur nécessaire pour obtenir le nombre souhaité. Dans notre cas, nous savons déjà que 1 est une solution (d'après le théorème de Bézout), donc nous multiplions simplement cette solution par 2. Ainsi, nous obtenons une solution particulière qui est x = -4 et y = 6. Maintenant, nous souhaitons déterminer l'ensemble des solutions. Pour cela, nous utilisons la méthode suivante : x = -4 + 9k et y = 6 - 13k, où k est un nombre entier. Ces équations nous permettent de trouver toutes les solutions de l'équation diophantienne. En résumé, l'équation 13x + 9y = 2 a des solutions entières. Une solution particulière est x = -4 et y = 6. L'ensemble des solutions est donné par les équations x = -4 + 9k et y = 6 - 13k, où k est un nombre entier.