Indépendance et contexte

Dans cet exercice sur les probabilités, nous avons une urne contenant 12 boules numérotées de 1 à 12. Nous devons déterminer si les événements A (tirage d'un nombre pair) et B (tirage d'un multiple de 3) sont indépendants. Pour cela, nous considérons une équiprobabilité, c'est-à-dire que chaque boule a autant de chances d'être tirée. Le nombre de possibilités favorables pour l'événement A (nombres pairs) est de 6 (2, 4, 6, 8, 10, 12), alors que le nombre total de possibilités est de 12. Ainsi, la probabilité de l'événement A est de 6/12, soit 1,5. Pour l'événement B (multiples de 3), il y a 4 possibilités favorables (3, 6, 9, 12) sur un total de 12. La probabilité de B est donc de 4/12, soit 1/3. En ce qui concerne l'intersection des événements A et B (nombres pairs et multiples de 3), seuls les nombres 6 et 12 sont communs. Ainsi, la probabilité de A inter B est de 2/12, soit 1/6. Cette probabilité est également égale au produit des probabilités de A et B, c'est-à-dire 1,5 * 1/3, ce qui donne également 1/6. Par définition, A et B sont donc indépendants dans ce cas. Ensuite, nous reprenons la question avec une urne contenant 13 boules. Les calculs changent légèrement, mais les possibilités de A et B restent les mêmes. La probabilité de A sera alors de 6/13 et la probabilité de B de 4/13. Pour l'intersection des événements, nous avons encore les nombres 6 et 12, mais la probabilité de A inter B sera de 2/13. Ce résultat est différent du produit des probabilités de A et B qui est égal à 24/169. Ainsi, dans le cas de 13 boules, les événements A et B ne sont plus indépendants.