Indépendance deux à deux et indépendance mutuelle

Dans cet exercice de probabilité, nous avons pour contexte une voisine ayant deux enfants dont nous ignorons le sexe. Nous étudions les trois événements suivants : A (les deux enfants sont de sexe différent), B (l'aîné est une fille), et C (le cadet est un garçon). Nous devons montrer que les événements A, B et C sont indépendants deux à deux, mais pas mutuellement indépendants. Pour commencer, nous supposons que la probabilité d'avoir une fille ou un garçon à la naissance est de 1,5. Nous créons ensuite un arbre pour visualiser les différentes possibilités. Chaque branche a une probabilité de 1,5. La probabilité de A, c'est-à-dire d'avoir deux sexes différents parmi les enfants, est de 2 chances sur 4, soit 1,5. La probabilité de B, c'est-à-dire que l'aîné est une fille, est également de 1,5. La probabilité de C, c'est-à-dire que le cadet est un garçon, est également de 1,5. Ensuite, nous calculons les probabilités des intersections pour montrer qu'elles sont bien égales à la probabilité du produit des individuelles. La probabilité de l'intersection entre A et B, c'est-à-dire que les deux enfants sont de sexe différent et que l'aîné est une fille, est de 1 sur 4. Cela est égal à la probabilité de A multipliée par la probabilité de B, soit 1,5 fois 1,5. Donc, A et B sont indépendants. Les mêmes calculs sont effectués pour les intersections entre A et C, et B et C. Dans les deux cas, les probabilités des intersections correspondent au produit des probabilités individuelles, ce qui montre que A et C, ainsi que B et C, sont indépendants. Enfin, nous devons montrer que les trois événements ne sont pas mutuellement indépendants. La probabilité de l'intersection entre A, B et C est différente du produit des trois probabilités. Plus précisément, la probabilité de A inter B inter C est de 1 quart, tandis que le produit des trois probabilités est de 1,8. Donc, les trois événements ne sont pas mutuellement indépendants. C'est ainsi que se conclut cet exercice de probabilité.